0.999...

אין מאטעמאטיק, דער זיך-חזר'ענדיגער נומער …0.999 איז א רעאלע צאל וואס איז גלייך מיט דעם נומער איינס. דאס הייסט, אז 1 און 0.999… רעפרעזענטירן דעם זעלבן נומער. עס איז דא פארשידענע מאטעמאטישע דערווייזן פון דער דאזיקער גלייכקייט.

דערווייז

די סעקווענץ $a_1=0.9,a_2=0.99,\dots$ קען מען פארמיר אזוי:

$a_n=\sum _{k=1}^{n}9\cdot 10^{-k}$.

דאס איז א געאמערישע ריי, טא

$\begin{array}{cc}{a}_n& =9\sum _{k=1}^{n}10^{-k}\\ & =9\frac{10^{-1}(1-10^{-n})}{1-10^{-1}}\\ & =1-10^{-n}\end{array}$.

ווען $n\to \mathrm{\infty }$ געפינט מען אז $0.999\dots =1$.