באַקוקן דעם מקור פון פי

[[טעקע:Pi-unrolled slow.gif|270px|ממוזער|פי איז גלייך צום [[ארומנעם]] פון א [[קרייז]] מיט [[דיאמעטער]] 1 (און [[ראדיוס]] ½)]]
[[טעקע:Greek lc pi icon.svg|קליין|150px|דער גריכישער אות פי]]
'''<math>\pi</math>''' (דער [[גריכישער אלפאבעט|גריכישער]] [[אות]] פי) איז א [[מאטעמאטישער קאנסטאנט]], א רעאלע צאל וואס איר ווערט איז די פראפארציע (אין [[אוקלידישע געאמעטריע|אוקלידישער געאמעטריע]]) צווישן דעם [[ארומנעם]] פון א [[קרייז]] צו זיין [[דיאמעטער]]. מען ניצט ''π'' ווייל ער איז דער ערשטער אות פונעם גריכישן ווארט "περίμετρος" (פערימעטראס) וואס מיינט '''ארומנעם'''.

די ערשטע 50 [[ציפער]]ן אין דער [[אומענדיקייט|אומענדיקער]] [[דעצימאלע רעפרעזענטאציע|דעצימאלער רעפרעזענטאציע]] פון <math>\pi</math> זענען: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.

דאס איז א אומראציאנעלער נומער, ד. ה. אז עס איז נישט מעגליך צו דאס ארויסברענגען ווי א פראפארציע פון צוויי גאנצע נומערן. דאס האט [[יאהאן היינריך לאמבערט|לאמבערט]] [[מאטעמאטישער דערווייז|דערוויזן]] אין יאר 1761. אבער, מען רעפרעזענטירט <math>\pi</math> ווי א פראקציע, למשל 22/7.

אין יאר [[1882]] האט [[פערדינאנד לינדעמאן]] באוויזן דעם לינדעמאן־ווייערשטראס טעארעם פון וואס עס ווערט געדרונגען אז <math>\ \pi</math>איז א [[טראנסצענדענטישע צאל]].{{הערה|שם=Mayer
|{{cite web|first=Steve|last=Mayer |url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-date=2000-09-29 |title=The Transcendence of π|accessdate={{ר}}4טן נאוועמבער 2007}}}} פון דעם באווייז קומט אויס אז מען קען נישט ווייזן <math>\ \pi</math> מיט אן ענדלעכע צאל פון גאנצע צאלן, [[ברוכצאל]]ן, אדער זייערע ווארצלען, צוזאמען מיט די פיר הויפט־פעולות פון [[חשבון]]. איין רעזולטאט פון דעם טעארעם איז אז מען קען נישט, ניצנדיק א ווירע און א צירקל, שאפן א קוואדראט מיט דעם גלייכן שטח ווי א געוויסער קרייז, איינער פון די קלאסישע פראבלעמען פון מאטעמאטיק.

ווייל די עלעמענטארסטע דעפיניציע פון <math>\ \pi</math>האט א שייכות מיט דעם קרייז, געפינט זיך <math>\ \pi</math>אין עטלעכע פארמלען אין [[טריגאנאמעטריע]] און [[געאמעטריע]], ספעציעל די וואס האבן צו טון מיט קרייזן, עליפסן און קיילעכן. אין מער מאדערנעם [[מאטעמאטישער אנאליז|מאטעמאטישן אנאליז]], ווערט דער דעפינירט אנדערש ניצנדיק די ספעקטראלע אייגנשאפטן פון דער [[רעאלע צאל]] סיסטעם, ווי אן אייגנווערט אדער [[פעריאדישע פונקציע|פעריאד]], אן קיין שום רעפערענץ צו געאמעטריע.  דערפאר באווייזט זיך <math>\ \pi</math>אין טיילן פון מאטעמאטיק און וויסנשאפטן וואס קיין שייכות נישט מיט דער געאמעטריע פון קרייזן, ווי למשל [[נומערן טעאריע]] און [[סטאטיסטיק]], ווי אויך אין כמעט אלע געביטן פון [[פיזיק]]. צוליב דער אומעטומקייט פון <math>\ \pi</math> איז ער איינער פון די מערסט באוואוסטע מאטעמאטישע קאנסטאנטן סיי אינערהאלב סיי אינדרויסן פון דער וויסנשאפטלעכער געמיינדע. עס זענען פאראן גאנצע ביכער וועגן <math>\ \pi</math>, און מען האט שוין גערעכנט וואס מער ציפערן פון <math>\ \pi</math>. מענטשן האבן שוין זיך אויסגעלערנט <math>\ \pi</math>צו מער ווי 70,000 ציפערן.

== אייגנשאפטן ==
<math>\ \pi</math> איז אן [[אומראציאנעלע צאל]], ד״ה מען קען אים נישט שרייבן ווי א [[ברוכצאל]] פון צוויי [[גאנצע צאל]]ן. די אייגנשאפט איז באוויזן געווארן אין יאר [[1761]] דורך [[יאהאן היינריך לאמבערט]].{{הערה|זעט באווייזן אין דעם ארטיקל [[:en:Proof that π is irrational|Proof that π is irrational]] אין דעם [[ענגלישע וויקיפעדיע|ענגליש-וויקיפעדיע]]}}

אין יאר [[1882]] האט [[פערדינאנד לינדעמאן]] באוויזן דעם [[לינדעמאן טעארעם]] פון וואס עס קומט ארויס דירעקט אז <math>\ \pi</math> איז א [[טרנסצענדענטאלע צאל]].{{הערה|שם=Mayer}} פון דעם באווייז קומט אויס אז <math>\ \pi</math> קען נישט ווערן גערעכנט פון גאנצע צאלן, ברוכצאלן אדער זייערע ווארצלען צוזאמען מיט די פיר פעולות פון [[חשבון]]. נאך אן אויסקום איז אז מען קען נישט, דורך [[קאנסטרוקציע מיט א ווירע און א צירקל]], שאפן א [[קוואדראט]] וואס זיין שטח איז [[גלייכהייט|גלייך]] צום שטח פון א געגעבענעם קרייז – איינער פון די [[קלאסישע פראבלעמען פון געאמעטריע]].

== רעכענען {{פי}} ==
רעכענען א מער און מער גענויען ווערט פאר <math>\ \pi</math> איז געווארן אן ארויסרוף במשך הונדערטער יאר.

[[טעקע:Picalc.png|קליין|דורך ארכימעד׳ס אויסשעפונג מעטאד קען מען רעכענען דעם ווערט פון פי ווי גענוי מען וויל, ניצנדיק רעגלמעסיקע [[פילעק]]ן וואס דער קרייז איז אדער זייער [[ארומקרייז]] אדער זייער [[אינקרייז]]. אין דעם בילד זעט מען איין זעקסעק וואס דער קרייז איז זיין ארומקרייז און איין זעקסעק וואס דער קרייז איז זיין אינקרייז.]] מען האט געוואוסט בערכדיקע ווערטן צו פי שוין אין [[בבל]] און אין [[אוראלט עגיפטן]], אבער [[ארכימעד]] האט געוויזן צום ערשטן מאל א מעטאד וואס דערמעגלעכט רעכענען <math>\ \pi</math>צו נארוועלכער גענויקייט (דער [[אויסשעפונג מעטאד]]). דער מעטאד איז באזירט אויף דעם וואס דער ארומנעם פון דעם קרייז איז קלענער ווי דער ארומנעם פון דעם [[פילעק]] וואס דער קרייז איז זיין אינקרייז, און גרעסער ווי דער ארומנעם פון דעם פילעק וואס דער קרייז איז זיין ארומקרייז. מיטן רעכענען דעם ארומנעם פון די ביידע פילעקן, וואס דער פילעק קען האבן וואס מער ריפן, קען מען רעכענען דעם ארומנעם פונעם קרייז וואס מער גענוי, און במילא רעכענען <math>\ \pi</math> וואס מער גענוי. ארכימעד האט געניצט זיין מעטאד מיט א [[זעקסעק]], און דערנאך האט ער געטאפלט די צאל ריפן (ניצנדיק כסדר רעגלמעסיקע פילעקן). מיט א פילעק פון 96 ריפן האט ארכימעד געקומען צום ארויסקום {{הערה|א פראגראם וואס מוסטערט ארכימעד׳ס מעטאד באשיינט אויפן וועבזייטל [http://www.math.utah.edu/~alfeld/Archimedes/Archimedes.html Archimedes and the Computation of Pi]}} (וואס דערשיינט אינעם בוך [[וועגן מעסטן דעם קרייז]]):

<math>3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}</math>

בערך יאר 480 האט דער כינעזישער מאטעמאטיקער [[זו טשאנגזשי]] גערעכנט אז {{שפייצן|2}}{{math|&pi; ≈ }}{{ר}}{{קליין|<math>\frac{355}{113}</math>}} ניצנדיק א פילעק מיט  12,288 עקן. דער ווערט  3.141592920 איז געהעריג אין די ערשטע זיבן ציפערן, און האט געהאלטן 800 יאר.

אין דעם אנהייב פונעם [[18טער י"ה|15טן יארהונדערט]] האט דער פערסישער מאטעמאטיקער און אסטראנאם [[אל-קאשי]] גערעכנט <math>\ 2\pi</math>צו 9 ציפערן אין דעם סעקסיגעסימאל-באזע, א גענויקייט וואס איז גלייך צו 16 ציפערן אין דעצימאל.

אין יאר [[1596]] האט דער האלענדער [[לודאלף וואן קעלין]] דערגרייכט 20 ציפערן, און עטלעכע יאר נאכהער האט ער דערגרייכט א גענויקייט פון 35 ציפערן. 

די אנטוויקלונג פון דעם [[קאלקולוס]] אין דעם 17טן יארהונדערט האט געברענגט נייע סיסטעמען צו רעכענע <math>\ \pi</math>. די סיסטעמען זענען באזירט אויף א רעפרעזענטאציע פון <math>\ \pi</math>ווי דער סכום פון אן אומענדלעכער [[סעריע (מאטעמאטיק)|סעריע]].

=== אומענדלעכע סעריעס ===
[[טעקע:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|טעקסט=א פארמעלער פארטרעט פון א מאן מיט לאנגע האר|קליין|[[אייזיק ניוטאן]] האט געניצט [[אומענדלעכע סעריע|אומענדלעכע סעריעס]]  צו רעכענען {{Math|π}} ביז 15 ציפערן.<ref name="Newton" />]]
די רעכענונג פון {{Math|π}} איז געווארן רעוואלוציאנירט דורך דער אנטוויקלונג פון [[אומענדלעכע סעריע]] טעכניקן אין די 16טע און 17טע יארהונדערטער. און אומענדלעכע סעריע איז דער צוגאב פון די עלעמענטן פון אן אומענדלעכן [[סעקווענץ]].<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> אומענדעלעכע סעריעס האבן געלאזט מאטעמאטיקער רעכענען <math>\ \pi</math>מיט פיל גרעסערער פרעציזקייט  ווי [[ארכימעד]] און אנדערע וואס האבן געניצט געאמעטרישע טעכניקן.<ref name="Ais" /> כאטש מען האט אויסגעניצט אומענדלעכע סעריעס פאר {{פי}}, איבערהויפט דורך אייראפעאישע מאטעמאטיקער ווי [[דזשיימס גרעגארי]] און [[גאטפריד ווילהעלם לייבניץ]], דעם דאזיגן צוגאנג האט מען שוין אנטפלעקט אין  [[אינדיע]] צווישן די יארן 1400 און 1500 צו דער ציווילער רעכענונג.<ref>{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}} {{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref> די ערשטע געשריבענע באשרייבונג פון אן אומענדלעכער סעריע וואס מ׳האט געקענט ניצן צו רעכענען {{פי}} איז געווען אויסגעלייגט אין סאנסקריט פֿערזן דורך דעם אינדישן אסטראנאם [[נילאקאנטא סאמאיאדזשי]] אין זיין ''[[טאנטראסאמגראהא]]'', בערך אין יאר 1500.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> די סעריעס ווערן געברענגט אן קיין באווייזונג, אבער עס קומען פאר באווייזן אין א שפעטערדיקער אינדישער ווערק, ''[[יוקטיבאהאסא]]'', פון בערך יאר 1530. נילאקאנטא שרייבט צו די סעריעס צו א פריערדיקן אינדישן מאטעמאטיקער, [[מאדהאווא פון סאנגאמאגראמא]], וואס האט געלעבט אומגעפער&nbsp;1350&nbsp;– &nbsp;1425.<ref name="Roypp" /> עטלעכע אומענדלעכע סעריעס ווערן באשריבן, איינשליסנדיק סעריעס פאר סינוס, טאנגענס און קאסינוס, וואס מען רופט היינט די [[מאדהאווא סעריע]] אדער [[לייבניץ פארמל פאר π|גרעגארי–לייבניץ סעריע]].<ref name="Roypp" /> מאדהאווא האט געניצט אומענדלעכע סעריעס צו שאצן {{פי}} ביז 11 ציפערן ארום יאר 1400, אבער ארום 1430 האט דער פערסישער מאטעמאטיקער [[דזשאמשיד אל-קאשי]] פארבעסערט די רעכענונג, מיט א פילעק־אלגאריטם.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>


{{-}}

== דאס אננעמען פונעם סימבאל {{פי}} ==
[[טעקע:Leonhard_Euler.jpg|קליין|[[לעאנהארד אוילער]] האט פאפולאריזירט דעם באניץ פונעם גריכישן אות {{פי}} אין זיינע ווערק וואס ער האט פארעפנטלעכט אין 1736 און 1748.]]
אין די פריעסטע באניצונגען איש דער [[גריכישער אות|גריכישער אות {{פי}}]] געווען א פארקירצונג פון דעם גריכיש ווארט פאר [[ארומנעם|פעריפֿעריע]] (περιφέρεια),<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=KTgPAAAAQAAJ&pg=PP3|title=Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario|last=Oughtred|first=William|date=1652|publisher=Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson|isbn=|location=|pages=|language=la|quote=δ.π :: semidiameter. semiperipheria}}</ref> און איז געווארן  קאמבינירט אין פראפארציעס מיט [[דעלטע (אות)|δ]] (פאר [[דיאמעטער]]) אדער [[רהא|ρ]] (פאר [[ראדיוס]]) צו שאפן קרייז קאנסטאנטן.<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com/?id=bT5suOONXlgC&lpg=PA9&pg=PA9|title=A History of Mathematical Notations: Vol. II|last=Cajori|first=Florian|date=2007|publisher=Cosimo, Inc.|isbn=978-1-60206-714-1|location=|pages=8–13|language=ענגליש|quote=the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters ... J.A. Segner ... in 1767, he represented 3.14159... by δ:π, as did Oughtred more than a century earlier}}</ref><ref name=":1">{{Cite book|url=https://books.google.com/?id=uTytJGnTf1kC&lpg=PA312&pg=PA312|title=History of Mathematics|last=Smith|first=David E.|date=1958|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-20430-7|location=|pages=312|language=en}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Archibald|first=R.C.|date=1921|title=Historical Notes on the Relation <math>e^{-(\pi/2)} = i^i</math>|jstor=2972388|journal=The American Mathematical Monthly|volume=28|issue=3|pages=116–121|doi=10.2307/2972388|quote=It is noticeable that these letters are ''never'' used separately, that is, {{פי}} is ''not'' used for 'Semiperipheria'|via=}}</ref> (פאר דעם האבן מאטעמאטיקער ווי א מאל געניצט בוכשטאבן ווי  ''c'' אדער ''p'' אנשטאט דעם.<ref name="Arndt_a" />) דאס ערשטע מאל וואס איז באריכטעט איז ווען  [[William Oughtred|אוטרעד]] האט געניצט "<math>\delta . \pi</math>", ארויסצודרוקן די פראפארציע פון פעריפֿעריע און דיאמעטער אין די 1647 און שפעטערע אויסגאבעס פון ''Clavis Mathematicae''.<ref>זעט, צום ביישפיל, {{cite book|url=https://books.google.com/books?id=ddMxgr27tNkC&pg=PA69#v=onepage&q&f=false|title=Clavis Mathematicæ|last=Oughtred|first=William|date=1648|publisher=Thomas Harper|isbn=|location=London|page=69|language=לאטיין|trans-title=דער שליסל צו מאטעמאטיק|df=dmy-all}} (איבערזעצונג אויף ענגליש : {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=S50yAQAAMAAJ&pg=PA99|title=Key of the Mathematics|last=Oughtred|first=William|date=1694|publisher=J. Salusbury|isbn=|location=|pages=|language=ענגליש}})</ref><ref name="Arndt_a" />  אזוי אויך האט [[Isaac Barrow|בארא]] געניצט "<math display="inline">\frac \pi \delta</math>" צו רעפרעזענטירן דעם קאנסטאנט 3.14...,<ref>{{Cite book|chapter-url=https://archive.org/stream/mathematicalwor00whewgoog#page/n405/mode/1up|title=The mathematical works of Isaac Barrow ..|last=Barrow|first=Isaac|date=1860|publisher=Cambridge University press|others=הארווארד אוניווערסיטעט|isbn=|editor-last=Whewell|editor-first=William|location=|pages=381|language=לאטיין|chapter=Lecture XXIV}}</ref> און גרעגארי האט געניצט  "<math display="inline">\frac \pi \rho</math>" צו רעפרעזענטירן 6.28...&nbsp;.<ref>{{Cite journal|last=Gregorii|first=Davidis|date=1695|title=Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & S.R.S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae|jstor=102382|journal=Philosophical Transactions|language=לאטיין|volume=19|pages=637–652}}</ref><ref name=":1" />

== פי אין יידישע מקורות ==
אין [[ספר מלכים]] ({{תנ"ך|מלכים א|ז|כג|ללא=ספר}}) איז משמע פונעם פסוק וועגן דעם ים־הנחושת וואס שלמה המלך האט געמאכט אז דער ארומנעם איז 3 מאל דעם דיאמעטער. {{ציטירן|תוכן=ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה ([[קרי וכתיב|קרי]]: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב.}}
{{ציטירן|תוכן=''און ער האָט געמאַכט דעם ים, אַ געגאָסענעם, צען אײלן פֿון ראַנד צו ראַנד, קײלעכדיק רונד אַרום, און פֿינף אײלן זײן הײך; און אַ שנור פֿון דרײסיק אײלן האָט אים אַרומגערינגלט רונד אַרום.''}}
פשטות נעמט מען אָן אז דער פסוק איז נישט צופיל מדייק דעם נומער, און דאס הייסט נישט אז מ׳האט נישט געוואוסט א מער מדוייק׳ן ווערט פאר <math>\ \pi</math> אין יענע צייטן, אדער אפשר איז גערעכענט דער דרויסענדיגער ארומנעם און דער אינעוועניגסטער ראדיוס. דער [[ווילנער גאון]] זאגט אז ס׳איז מרומז אין פסוק די פראפארציע צווישן <math>\ \pi</math>און 3, וואס דארף אויסקומען בערך 1.04719, ווייל ס׳איז דא א [[קרי וכתיב]] פונעם ווארט וואס איז געשריבן '''קוה''' און מען לייענט עס '''קו'''; די פראפארציע צווישן דער [[גימטריא]] פונעם ווארט קוה (111) און דעם ווארט קו (106) איז אומגעפער ...1.04716.{{הערה|בועז צבאן ודוד גרבר, [http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/exactpi.pdf ערכים מדויקים של פאי במקורות היהדות]}}

== פארמלען וואס ניצן <math>\ \pi</math> ==<!-- אין להציג את פאי באמצעות תגית <math> באמצע כותרות מסיבה תוכנית (הטקסט המתמטי לא יופיע בתוכן העניינים) -->
פי באווייזט זיך אין פיל מאטעמאטישע פארמלען. פארשטייט זיך אז פארמלען וואס מעסטן קרייזן און ספערן ניצן <math>\ \pi</math>, אבער אויך אין גאר אנדערע געביטן וואס האבן אייגנטלעך נישט קיין שייכות מיט געאמעטריע אדער קרייזן.

=== געאמעטריע ===
{| border="0" cellspacing="3" cellpadding="3"
!
!
|-
|[[ארומנעם]] פון א [[קרייז]]
|<math>C = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[שטח]] פון א [[קרייז|קרייזפלאך]]
|<math>A = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|שטח פון אן [[עליפס]]
|<math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
|[[פארנעם]] פון א [[קיילעך]]
|<math>V = \frac{4\pi r^3}{3} \,\!</math>
|-
|[[אייבערפלאך שטח]] פון א קיילעך
|<math>A = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|פארנעם פון א [[צילינדער (געאמעטריע)|צילינדער]]
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|אייבערפלאך שטח פון א צילינדער
|<math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|פארנעם פון א [[קאנוס]]
|<math>V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\!</math>
|-
|אייבערפלאך שטח פון א קאנוס
|<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}<br />

=== מאטעמאטישער אנאליז ===

* [[וויעטא׳ס פארמל]], [[1593]]:

: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>

* [[לייבניצ׳נס פארמל פאר π|גרעגארי-לייבניץ פארמל]], אויף די נעמען פון [[דזשיימס גרעגארי]] (1638–1675) און [[גאטפריד ווילהעלם לייבניץ|ווילהעלם לייבניץ]]. גרעגארי האט אנטפלעקט די פארמל אין [[1672]]. זי דערשיינט אויך אין דעם בוך Ganita-Yukti-Bhasa וואס דער אינדישער מאטעמאטיקער Jyesthadeva האט געשריבן אין דעם 16טן יארהונדערט. די פארמל איז

: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
: ד״ה:
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left (\frac{1}{2n-1}\right ) = \frac{\pi}{4}</math>
: (מען באקומט די סעריע ווען מען שטעלט <math>\ x=1</math> אין דער [[טיילאר סעריע]] פאר <math>\ \arctan(x)</math>)

* דער [[וואליס פראדוקט]]:

: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>

* דער [[אינטעגראל]] פון דער [[גאוס פונקציע]] ([[נארמאלע פארטיילונג]]):

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>

* דער [[באזעלער פראבלעם]] וואס [[לעאנהארד אוילער]] האט געלייזט (זעט אויך די [[רימאן זעטא פונקציע]]):

: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>

* די [[גאמא פונקציע]] (וואס איז א גענעראליזאציע פון דער [[פאקטאריאל]] פונקציע) פון 1/2:

: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>

* [[נוסחת סטירלינג|סטירלינג פארמל]] וואס מען ניצט צו דערנענטערן דעם פאקטאריאל פון גרויסע צאלן:

: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
: (מען באווייזט די טענה דורך אן [[אסימפטוטה|אסימפטאטישע]] אנטוויקלונג פון דער [[גאמא פונקציע]])

* די [[אוילער אידענטיטעט]] וואס איז באזירט אויף דער [[אוילער פארמל]] (וואס [[ריטשארד פיינמאן]] האט גערופן די "וואונדערבארסטע אידענטיטעט אין מאטעמטיק", און זי פארבינדט די פינף פונדאמענטאלע מאטעמאטישע קאנסטאנטן):

: <math>e^{\pi i} + 1 = 0\;</math>

* דער שטח פון א קוואדראט פון דעם איינץ-קרייז:

: <math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}</math>

* נאך אן [[אומאייגנטלעכער אינטעגראל]]:

: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \pi</math>

==רעפערענצן==
{{רעפליסטע
|refs=
<ref name="Arndt_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=166}}</ref>
<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>
}}


{{מאטעמאטיק-שטומף}}

[[קאַטעגאָריע:נומערן]]